Standpunkte von Johann Moser

Österreich ist ein Obrigkeitsstaat. Reformen werden von oben verordnet und beginnen auch mit oben, nämlich – im Schulbereich – bei der Matura. Und so wird möglicherweise ganz darauf vergessen, dass für eine andere Matura der vorangegangene Unterricht anders sein muss. Eine substanzielle Änderung des Unterrichts wird sich aber nicht so ohne weiters von oben verordnen lassen, die braucht etwas Zeit und neue Erfahrungen seitens der Lehrenden (und eigentlich auch andere Schulstrukturen).

Ich beschreibe anhand meiner eigenen Entwicklung als Mathematiklehrer (BHS), was ich damit meine: Bereits am Beginn meiner Unterrichtstätigkeit (1987) wurde ich in unserer landesweiten ARGE mit der Frage des Computereinsatzes konfrontiert. Eng damit verbunden waren grundsätzliche Aspekte des Unterrichtens von Mathematik und die Frage, welche Veränderungen der Computereinsatz nach sich ziehen wird/muss. Klar ist, dass das Berechnen nach Rechenschema in den Hintergrund tritt und durch Analysieren, Experimentieren, Visualisieren und Interpretieren ersetzt wird.

Am Beispiel Finanzmathematik

Eine Schuld in bestimmter Höhe wird mit einer bestimmten Rate und einem bestimmten Zinssatz beglichen. Zu berechnen ist – im klassischen Unterricht – die Laufzeit des Kredits. Wenn man es etwas schwieriger machen will, wird mit den Rückzahlungen ein paar Jahre ausgesetzt. Bei Verwendung eines Computer Algebra Systems oder einer Tabellenkalkulation stehen andere Fragen an: Ein dynamisches Modell (Tabelle und Grafik) zu erstellen, mit dem man folgendes analysieren kann: Wie wirkt sich eine (kleine) Veränderung des Zinssatzes bei gleich bleibender Annuität auf die Laufzeit aus. Wie wirkt sich eine (kleine) Veränderung des Zinssatzes bei gleich bleibender Laufzeit auf die Rate aus? (Anders gefragt: Lohnt es sich, als Kreditnehmer um Details beim Zinssatz zu feilschen?)

Die kompetenzorientierte Aufgabe erfordert zu experimentieren und zu dokumentieren. Die Interpretation der Analysen ist aber nicht unbedingt eindeutig und muss frei formuliert werden. Und da bin ich schon neugierig, wie die vom Ministerium vorgegebenen (!) Korrekturschemata aussehen.

Die gewohnte Lehrsituation verlassen

Wenn man sich als Lehrer im Unterricht auf derlei Umstellungen einlässt, verlässt man die gewohnten Pfade, die Bereiche, in denen man ursprünglich kompetent ist und geht Unsicherheiten ein. In meinem Fall war es einfach: Erstens unterrichtete ich damals in fast allen Jahrgängen jeweils zwei Klassen Mathematik und zweitens bin ich sehr experimentierfreudig. Nach einem Fortbildungsseminar habe ich sofort die neuen Ideen und Erkenntnisse umgesetzt, in der Parallelklasse gleich wieder verbessert.

Die Unterrichtsumstellung ist auch zeitaufwändig. Die vorhandenen Schulbücher sind nicht mehr zu gebrauchen, Aufgabenstellungen, Übungsbeispiele und Lernziele müssen selbst formuliert und immer wieder angepasst werden.

Meine eigene Entwicklung habe ich mit den Kolleg/innen im Bundesland als mehrmaliger Referent bei den Fortbildungsveranstaltungen geteilt. Schlimm genug, wie wenig letztlich von den Anregungen aufgegriffen wurde. Vielleicht geht es tatsächlich nicht ohne Verordnung von oben. Die Art der vorgegebenen zentralen Aufgaben wird entscheiden, ob es ein Anstoss nach vorne oder nach hinten wird.

In meinem letzten Beitrag zum Prozentrechnen ging es um die Frage, einen bestimmten Prozentsatz zu berechnen. Wie viel sind 10% von 100?

Jetzt geht es um eine Variante der Prozentrechnung: 600 EUR sind 120%. Wie viel EUR sind 100%? Wir müssen in diesem Fall die Berechnung der 120% “rückgängig” machen. Wenn wir 120% von etwas berechnen, multiplizieren wir mit 1,20. Wir machen die Rechnung rückgängig, indem wir durch 1,20 dividieren, um auf 100% zu rechnen. Also: 600/1,20 = 500, das heißt wenn 600 EUR 120% sind, dann sind 500 EUR 100%. Und die Probe ist 500*1,20 = 600, also 120% sind 600 EUR.

Mit diesen beiden Varianten der Prozentrechnung können wir alles weitere berechnen. Beispielsweise die Frage, wieviel 20% sind, wenn 600 EUR 120% sind. Wie oben berechne ich zuerst 100%, das sind 500 EUR und multipliziere dann mit 0,20 für die 20%.  Das sind 100 EUR.

Günstig ist es, zu kontrollieren, ob ein Ergebnis auch plausibel ist: Wenn ich einen größeren Prozentsatz (etwa 120%) von 100% berechne, muss auch das Ergebnis größer sein. Wenn ich von einem größeren Prozentsatz auf 100% rechne, muss das Ergebnis kleiner sein.

Ähnliches gilt bei Prozentsätzen unter 100%. Wenn ich einen kleineren Prozentsatz (etwa 50%) von 100% berechne, muss das Ergebnis kleiner sein. Wenn ich von einem kleineren Prozentsatz auf 100% rechne, muss das Ergebnis größer sein. So eine Kontrolle nennt man Plausibilitätskontrolle.

Diese Plausibilitätskontrolle kann ich noch verfeinern: Wenn der Prozentsatz kleiner als 50% ist, muss das Ergebnis kleiner als die Hälfte von 100% sein.

Zwei Reaktionen auf meinen Artikel “Wie viel sind 10% von 100?” veranlassen mich zu einem weiteren Statement:

• Ein auf den ersten Blick von mir  nicht ernst genommener und daher gelöschter Kommentar wirft mir vor, ein Klugscheißer zu sein, weil ich zwar Fragen aufwerfe, aber keine Lösungen anbiete.
• Ein Blick auf meine Statistik-Analyse hat mir gezeigt, dass unter den meistverwendeten Suchbegriffen, mit denen man von Suchmaschinen auf meinen Blog kommt eben “Wieviel sind 10% von 100?” ist. Offenbar suchen viele Leute nach einer Lösung auf diese Frage.

Ich werde daher auf meine Fragen Lösungen anbieten und gleichzeitig versuchen zu analysieren, was im Unterricht der Prozentrechnung falsch läuft und eine allgemeine Anleitung zum Prozentrechnen geben.

Zuerst die Lösungen

10% von 200 sind 20. 10% von 100 sind 10. 5% von 100 sind 5. Warum das so ist, erkläre ich weiter unten.

Prozentrechnen in der Schule

Prozentrechnen lernt man in der Schule der 10-14jährigen. In welchem Jahrgang, weiß ich nicht, ich nehme an in der 6. Schulstufe im Alter von 12 Jahren. Ich gehe davon aus, dass Prozentrechnen ausführlich trainiert wird, dass aber bei etwa 20-30% der SchülerInnen das Grundverständnis dafür fehlt, worum es da überhaupt geht.

Mit Pfeilen und Ansätzen der Schlussrechnung werden drei Varianten, von 100, in 100 und auf 100 unterschieden und als Bruch angeschrieben. Die erste Hürde ist, die richtige Variante zu finden. Nahe liegend ist es, zu raten, die Chance liegt immerhin bei einem Drittel. (Aber das ist ja schon wieder eine Prozentrechnung!)

Die zweite Hürde liegt darin, den angeschriebenen Bruch zu kürzen.

Ohne jetzt den Lehrkräften dieser Schulstufen auf die Zehen zu treten: Vergesst die formellen Ansätze des Schlussrechnens, das bringt nichts, wenn sie nicht verstanden und letztlich verwechselt werden! Vergesst die vielen Details, Varianten und Textbeispiele. Zuerst muss das Grundverständnis aller SchülerInnen erreicht werden und zwar so, dass man es nicht mehr vergessen kann. “Darauf habe ich mich nicht vorbereitet” kann keine Ausrede bei Aufnahmeprüfungen sein.

Vielleicht sollte man schon in der Grundschule mit den SchülerInnen das Lernen und die verschiedenen Lernbereiche selbst reflektieren. Die Landeshauptstädte der österreichischen Bundesländer beispielsweise kann man auswendig lernen, die Grundrechnungsarten nicht (da müsste man ja unzählige, ja unendlich viele Rechnungen pauken). Beim Addieren beispielsweise muss man verstehen, dass 10 Ziffern in ihrer Bedeutung nach Positionen aufgeschrieben werden, was diese Positionen bedeuteten (Einer, Zehner, Hunderter, etc.) und wie der Schritt von 9 auf 10, von 19 auf 20, von 99 auf 100, etc. funktioniert. Trainieren muss man dann lediglich das Rechnen im Zahlenraum 10 bzw. 20.

Diesen Unterschied verschiedener Lerninhalte verstehen viele SchülerInnen (Lehrkräfte?) nicht. Sie halten lernen für auswendig lernen und scheitern bei den elementarsten Aufgaben. Weil sie genau diese Variante nicht auswendig gelernt haben oder schon wieder vergessen haben.

Anleitung zum Prozentrechnen: Von Hundert.

Beim Prozentrechnen geht es um Anteile. Es ist üblich, Anteile auf 100 zu beziehen: 50% von etwas ist die Hälfte von diesem Etwas, weil 50 die Hälfte von 100 ist. 200% von etwas ist das Doppelte, weil 200 das Doppelte von 100 ist. Von 100 heißt in der lateinischen Sprache Prozent, von da hat die Prozentrechnung ihren Namen.

Damit das Berechnen von Prozenten möglichst einfach ist, verwende ich keine Brüche, sondern Dezimalzahlen: Die Hälfte von etwas, also 50% von etwas berechne ich, indem ich dieses Etwas mit 0,50 multipliziere. Das geht, weil 0,50 das Ergebnis von 50/100 ist.

Somit kann man ohne Bruchrechnen alle möglichen Prozentsätze berechnen: 20% von etwas als Multiplikation von diesem Etwas mit 0,20. 30% von etwas als Multiplikation von diesem Etwas mit 0,30. Das geht sogar ohne Taschenrechner: 20% von 300 sind 300 mal 0,2. Dazu multiplzieren ich 300 mit 2 (ist 600) und verschiebe die Kommastelle bzw. dividiere durch 10. Ergebnis: 60.

Etwas mühsamer ist es mit dem Multiplizieren, wenn man etwa 13% oder 17% von etwas berechnen will. Dann kann man ja 10% und 20% berechnen und weiß, dass das Ergebnis dazwischen liegt, das ist schon eine brauchbare Näherung. Für genaue Ergebnisse nimmt man den Taschenrechner.

Die beiden anderen Varianten der Prozentrechnung beschreibe ich in einem eigenen Beitrag. Da kann man dann sehen, warum das Multiplizieren mit einer Dezimalzahl so praktisch ist und man die Ansätze mit Pfeilen und Schlussrechnung gar nicht braucht.

Update: Hier finden Sie die Lösung.

Erschütternde Erfahrungen bei zwei Aufnahmeprüfungen in Rechnen (den Begriff Mathematik verwende ich lieber nicht). Nachdem die schriftliche Aufnahmeprüfung bereits an ähnlichen Fragestellungen scheiterte, wollte ich im mündlichen Prüfungsgespräch die Denkweise und Lernfähigkeit von zwei 14-Jährigen ergründen.

Bei “10% von 200?” erntete ich Kopfschütteln, bei “10% von 100?” wurde zuerst 90 und dann 50 geraten. Die Antwort 90 deutet ja wenigstens auf falsch auswendig Gelerntes hin. Ich wollte es mit einer anderen “Sprache” versuchen: “fifty-fifty bei 100, was ist das?” führte zum Erfolg, “fifty-fifty von 200″ war bereits unlösbar.

Bei 5% von 100 erhielt ich wenigstens den Versuch eines Bruchterms 5*100/100, der nach mühsamen Versuchen des Kürzens das Ergebnis 2 (!) brachte. Erklärungsversuch der Kandidatinnen: Das habe ich nicht gelernt. Ähnliche Ergebnisse bei einfachen Schlussrechnungen.

Was passiert da in acht Jahren Grundschule? Was ist mit einem Teil unserer Jugend eigentlich los?  Wie muss Schule gedacht werden, dass so etwas nicht passieren kann? Oder bin ich ein unrealistischer Träumer?

“Wer Bildung objektiviert, ist nicht gebildet”, der Standard, 24. Juni 2009. Rudolf Taschner von der TU Wien befürchtet, dass durch eine ausschließlich zentralisierte schriftliche Mathematik-Matura der Freiraum und die Individualität im Unterricht verloren gehen könnten. Dann kann er sich nämlich seine Geschichten über Mathematik im Schulunterricht sparen, weil dann für die Zentralmatura auf Verdacht gelernt bzw. geübt werden muss.

"Wer Bildung objektiviert, ist nicht gebildet"

Wenn auch manches für eine Zentralmatura sprechen mag (beispielsweise dass man alle Schulen zu einem bestimmten Niveau zwingen kann), so sind doch die Nachteile entsprechend groß: Individualisierung (Schüler/innen) und Individualität der Lehrkraft werden dann zu kurz kommen. Unter Individualität fällt, dass eine Lehrkraft spezielle Schwerpunkte setzen kann oder auf Eigeninitiative den Mathematik-Unterricht weiterentwickelt.

An unserer Schule verwenden wir drei verschiedene Computer-Algebra-Systeme (CAS). Die Fragestellungen zu den einzelnen Themen sind von der Wahl des Systems abhängig, da jedes CAS andere Stärken und Schwächen hat. Ich bin schon neugierig, was da zentral vorgegeben wird. Möglicherweise heißt das zurück an den Start: zu einem Mathematik-Unterricht wie vor 30 Jahren, der hauptsächlich als sinnloses Auslesefach erlebt wird.